试题

（2013·怀集县二模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于

1

2

EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）根据题意，利用直尺与圆规，把图补充完整，若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）利用直尺与圆规作CN⊥AM，垂足为N，交AB于Q，求证：四边形AQMC是菱形．

解：（1）把图补充完整（保留痕迹），
由AB∥CD，得∠CAB+∠ACD=180°
所以：∠CAB=180°-114°=66°，
由作图，得：AD是∠CAB的平分线，
所以：∠MAB=

1

2

∠CAB=33°；

（2）证明：利用直尺与圆规作CN⊥AM，垂足为N（保留痕迹），
∵AB∥CD，
∴∠DAB=∠CDA
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAB=∠CAD，
∴AC=CM，
在△ACN与△AQN中，

∠CAN=∠QAN AN=AN ∠ANQ=∠ANC=90°

，
∴△ACN≌△AQN（ASA），
∴AC=AQ，
∴CM=AC=AQ．
又∵AB∥CD，
∴四边形AQMC是菱形．
解：（1）把图补充完整（保留痕迹），
由AB∥CD，得∠CAB+∠ACD=180°
所以：∠CAB=180°-114°=66°，
由作图，得：AD是∠CAB的平分线，
所以：∠MAB=

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∠CAB=33°；

（2）证明：利用直尺与圆规作CN⊥AM，垂足为N（保留痕迹），
∵AB∥CD，
∴∠DAB=∠CDA
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAB=∠CAD，
∴AC=CM，
在△ACN与△AQN中，

∠CAN=∠QAN AN=AN ∠ANQ=∠ANC=90°

，
∴△ACN≌△AQN（ASA），
∴AC=AQ，
∴CM=AC=AQ．
又∵AB∥CD，
∴四边形AQMC是菱形．