试题

（2005·呼和浩特）某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示）

解：根据题意可作图（见右图）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=

AC

AB

．
在Rt△ACD中，
AC=AB·sin∠ABC
=4×sin45°
=4×

2

2

=2

2

．
∴sinD=

AC

AD

，
∴AD=

AC

sinD

=

2 2

sin30°

=4

2

（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4

2

-4）m．
又∵tanD=

AC

DC

，
∴DC=

AC

tanD

=2

2

·

3

=2

6

m．
∴DC-BC=（2

6

-2

2

）m．
答：调整后楼梯会增加（4

2

-4）m，多占地面长为（2

6

-2

2

）m．
解：根据题意可作图（见右图）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=

AC

AB

．
在Rt△ACD中，
AC=AB·sin∠ABC
=4×sin45°
=4×

2

2

=2

2

．
∴sinD=

AC

AD

，
∴AD=

AC

sinD

=

2 2

sin30°

=4

2

（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4

2

-4）m．
又∵tanD=

AC

DC

，
∴DC=

AC

tanD

=2

2

·

3

=2

6

m．
∴DC-BC=（2

6

-2

2

）m．
答：调整后楼梯会增加（4

2

-4）m，多占地面长为（2

6

-2

2

）m．