试题

题目：
已知|ab-2|与（b-1）2互为相反数．求
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2006)(b+2006)
的值．
答案
解：∵|ab-2|与（b-1）2互为相反数，
即|ab-2|+（b-1）2=0，
∴
ab-2=0
b-1=0
，
解得：
a=2
b=1
．
∴
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2006)(b+2006)

=
1
2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2007×2008

=
1
2
+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+（
1
4
-
1
5
）+…+（
1
2007
-
1
2008
）
=
1
2
+
1
2
-
1
2008

=1-
1
2008

=
2007
2008
．
解：∵|ab-2|与（b-1）2互为相反数，
即|ab-2|+（b-1）2=0，
∴
ab-2=0
b-1=0
，
解得：
a=2
b=1
．
∴
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2006)(b+2006)

=
1
2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2007×2008

=
1
2
+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+（
1
4
-
1
5
）+…+（
1
2007
-
1
2008
）
=
1
2
+
1
2
-
1
2008

=1-
1
2008

=
2007
2008
．
考点梳理
有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
首先根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0求得a，b的值，即可求得原式，然后根据
1
a(a+1)
=
1
a
-
1
a+1
，即可计算求解．
本题考查了非负数的性质以及代数式的求值，正确理解
1
a(a+1)
=
1
a
-
1
a+1
是解题的关键．
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