试题

题目：
青果学院（2009·郑州模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，点P是AB上一点，AP=2BP，PQ⊥BC于Q，连接AQ，则cos∠AQC的值为
2
7
7
2
7
7
．
答案
2
7
7

青果学院解：过A作BC的垂线AD，
∵PQ⊥BC，∠B=30°，
∴BP=2PQ，BQ=
3
PQ，
∵AD⊥BC，
∴△BPQ∽△BAD，
∵AP=2BP，
∴AD=3PQ，DQ=2BQ=2
3
PQ，
∴
AD
DQ
=
3PQ
2
3
PQ
=
3
2
，
设AD=
3
x，则DQ=2x，AQ=
AD2+DQ2
=
(
3
x)2+(2x)2
=
7
x，
∴cos∠AQC=
DQ
AQ
=
2x
7
x
=
2
7
7
．
故答案为：
2
7
7
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．
过A作BC的垂线AD，根据PQ⊥BC，∠B=30°可知BP=2PQ，BQ=
3
PQ，故可得出△BPQ∽△BAD，再根据AP=2BP，可知AD=3PQ，DQ=2BQ=2
3
PQ，进而可得出
AD
DQ
的值，设AD=
3
x，则DQ=2x，由勾股定理可得出AQ的值，再由cos∠AQC=
DQ
AQ
即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
找相似题