试题

题目：
青果学院（2010·泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=
3
x
的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是
平行四边形
平行四边形
；
（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．
答案
平行四边形

青果学院解：（1）平行四边形（3分）

（2）①∵点B（p，1）在y=
3
x
的图象上，
∴1=
3
p
，
∴p=
3
．（4分）
过B作BE⊥x轴于E，则OE=
3
，BE=1
在Rt△BOE中，tanα=
BE
OE
=
1
3
=
3
3

α=30°，（5分）
∴OB=2．
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，（6分）
∴OB=OD=2．
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2（7分）
∴m=2；（8分）
②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；（9分）

（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）
若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，（11分）
所以BD应在y轴上，
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形．（12分）
考点梳理
反比例函数综合题；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；锐角三角函数的定义．
（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）①把点B（p，1）代入y=
3
x
，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；②当m=2时，设B（x，
3
x
），则x＞0，由OB=2，得出x2+
3
x2
=4，解此方程，得x=±1或±
3
，满足条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个；
（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．
压轴题；探究型．
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