试题

（2010·泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．

（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC（2分）
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB（4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线（6分）

（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴

FO

FA

=

OD

AE

（8分）
∴

FC+OC

FC+AC

=

OD

AB-BE

∴

FC+2

FC+4

=

2

4-1

解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=

AE

AF

=

AB-BE

AF

=

4-1

6

=

1

2

．（10分）
（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC（2分）
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB（4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线（6分）

（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴

FO

FA

=

OD

AE

（8分）
∴

FC+OC

FC+AC

=

OD

AB-BE

∴

FC+2

FC+4

=

2

4-1

解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=

AE

AF

=

AB-BE

AF

=

4-1

6

=

1

2

．（10分）