试题

题目：
青果学院（2011·清远）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
答案
（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA；
∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在Rt△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
102-62
=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
∴tan∠EDF=
EF
DF
=
1
3
．
（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA；
∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在Rt△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
102-62
=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
∴tan∠EDF=
EF
DF
=
1
3
．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
几何综合题；压轴题．
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