试题

题目：
青果学院凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图．则sin∠AOB=
15+6
3
26
15+6
3
26
．
答案
15+6
3
26

青果学院解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=
3
x，DP=2x，
由割线定理，得（2+
3
x）
3
x=2x（1+2x），
解得AD=x=2
3
-2，BC=
1
2
BP=4-
3
，
由托勒密定理有
BD·CA=（4-
3
）（2
3
-2）+2×1=10
3
-12．
又SABCD=S△ABD+S△BCD=
3
3
2
．
故sin∠AOB=
15+6
3
26
．
故本题答案为：
15+6
3
26
．
考点梳理
锐角三角函数的定义；解一元二次方程-公式法；切割线定理．
由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D四点共圆，欲求sin∠AOB，联想到托勒密定理，只须求出BC、AD即可．
本题考查了锐角三角函数值的求法，切割线定理，涉及解一元二次方程．关键是明确所求角的三角函数，将问题进行转化．
计算题．
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