试题

（2012·金山区一模）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时

AP

PB

的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD²是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

PC

=cos30°=

3

2

；

（2）由已知，CD²=DE·DB，
即

DE

CD

=

CD

DB

，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴

DE

CD

=

CD

DB

=

CE

BC

，
又∵CP=BC，

CE

BC

=

CE

CP

，
∵PD∥BC，
∴

CE

CP

=

BE

BD

，
∴

CD

DB

=

CE

CP

=

BE

BD

，
∴CD=BE，
∴

DE

BE

=

BE

DB

，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴

DE

BE

=

BE

DB

=

5 -1

2

，
又∵PC∥AD，
∴

AP

PB

=

DE

BE

=

5 -1

2

，

（3）设AP=a，PB=b，
∴S △APD=

3

4

a2，S △BPC=

3

4

b2，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴

S△APD

S△PDC

=

AD

PC

，

S△PDC

S△BPC

=

PD

BC

，
∴

S△APD

S△PDC

=

S△PDC

S△BPC

，
∴S△PDC=

S△APD·S△BPC

=

3

4

ab，
∴S=

3

4

(a2+ab+b2)，
作DH⊥AB，
则DH=

3

2

a，BH=

1

2

a+b，
∴BD²=DH²+BH²=（

3

2

a）²+（

1

2

a+b）²=a²+ab+b²，
∴

S

BD2

=

3

4

，
∴S与BD²成正比例，比例系数为

3

4

．
解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

PC

=cos30°=

3

2

；

（2）由已知，CD²=DE·DB，
即

DE

CD

=

CD

DB

，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴

DE

CD

=

CD

DB

=

CE

BC

，
又∵CP=BC，

CE

BC

=

CE

CP

，
∵PD∥BC，
∴

CE

CP

=

BE

BD

，
∴

CD

DB

=

CE

CP

=

BE

BD

，
∴CD=BE，
∴

DE

BE

=

BE

DB

，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴

DE

BE

=

BE

DB

=

5 -1

2

，
又∵PC∥AD，
∴

AP

PB

=

DE

BE

=

5 -1

2

，

（3）设AP=a，PB=b，
∴S △APD=

3

4

a2，S △BPC=

3

4

b2，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴

S△APD

S△PDC

=

AD

PC

，

S△PDC

S△BPC

=

PD

BC

，
∴

S△APD

S△PDC

=

S△PDC

S△BPC

，
∴S△PDC=

S△APD·S△BPC

=

3

4

ab，
∴S=

3

4

(a2+ab+b2)，
作DH⊥AB，
则DH=

3

2

a，BH=

1

2

a+b，
∴BD²=DH²+BH²=（

3

2

a）²+（

1

2

a+b）²=a²+ab+b²，
∴

S

BD2

=

3

4

，
∴S与BD²成正比例，比例系数为

3

4

．