试题

已知抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=

1

2

OC，tan∠ACO=

1

6

，顶点为D．
（1）求点A的坐标．
（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标．
（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标．
（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为．

解：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=

1

6

，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵OB=

1

2

OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由题意，得

a-b+6=0 9a+3b+6=0

，
解得

a=-2 b=4

，
∴y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴D（1，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

b=6 k+b=8

，
解得

k=2 b=6

，
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；

（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F₁（2，6），F₂（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F₃（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x²+4x+6上，
∴F（2，6）；

（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m²+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则

-k+b=0 2k+b=6

，
解得

k=2 b=2

，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m²+4m+6-（2m+2）=-2m²+2m+4，
∵S_△ABM=

1

2

×4×6=12，
∴S=S_△ABM+S_△AMN=12+S_△ANQ+S_△MNQ，
=12+

1

2

×3×（-2m²+2m+4），
=-3m²+3m+18，
=-3（m-

1

2

）²+

75

4

，
∴当m=

1

2

时，S的最大值为

75

4

，
当m=

1

2

时，y=-2x²+4x+6=-2×

1

4

+4×

1

2

+6=

15

2

，
∴N（

1

2

，

15

2

）；

（5）设直线AM与对称轴相交于点E，
则y=2×1+2=4，
∴点E的坐标是（1，4），
∴AE=

22+42

=2

5

，
设圆的半径为r，
①圆心在x轴上方时，

r

2

=

4-r

2 5

，
解得r=

5

-1，
∴点P的坐标为（1，

5

-1），
②圆心在x轴的下方时，

r

2

=

4+r

2 5

，
解得r=

5

+1，
∴点P的坐标为（1，-

5

-1），
综上所述，点P的坐标为（1，

5

-1）或（1，-

5

-1）．