试题

题目：
如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/青果学院秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、O两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABOP的面积为S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面积S与时间t的关系式；
（3）在P、O两点移动的过程中，能否使△CPO与△ABC相似？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
答案
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=
62+82
=10m，
∴cos∠ACB=
BC
AC
=
8
10
=
4
5
，

（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴
PC
AC
=
PF
AB
，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴
10-2t
10
=
PF
6
，
∴PF=
30-6t
5
，
∴S△POC=
1
2
×t×
30-6t
5
=
15t-3t2
5
，
∴青果学院四边形ABOP的面积为：S=
1
2
×6×8-
15t-3t2
5
=
3
5
t2-3t+24；

（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴
CO
BC
=
PC
AC
，
∴
t
8
=
10-2t
10
，
解得：t=
40
13
，青果学院
此时，PO=
3
5
(10-2t)=
30
13
，OB=8-t=
64
13
，
以B为原点，
∴P(
64
13
，
30
13
)；
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴
PC
BC
=
OC
AC
，
∴
10-2t
8
=
t
10
青果学院
解得，t=
25
7
，
此时，PE=
3
5
(10-2t)=
12
7
，BE=8-t=
31
7

以B为原点，∴P(
31
7
，
12
7
)，
综上所述，满足条件的P点的坐标为 (
64
13
，
30
13
)或 (
31
7
，
12
7
)．
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=
62+82
=10m，
∴cos∠ACB=
BC
AC
=
8
10
=
4
5
，

（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴
PC
AC
=
PF
AB
，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴
10-2t
10
=
PF
6
，
∴PF=
30-6t
5
，
∴S△POC=
1
2
×t×
30-6t
5
=
15t-3t2
5
，
∴青果学院四边形ABOP的面积为：S=
1
2
×6×8-
15t-3t2
5
=
3
5
t2-3t+24；

（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴
CO
BC
=
PC
AC
，
∴
t
8
=
10-2t
10
，
解得：t=
40
13
，青果学院
此时，PO=
3
5
(10-2t)=
30
13
，OB=8-t=
64
13
，
以B为原点，
∴P(
64
13
，
30
13
)；
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴
PC
BC
=
OC
AC
，
∴
10-2t
8
=
t
10
青果学院
解得，t=
25
7
，
此时，PE=
3
5
(10-2t)=
12
7
，BE=8-t=
31
7

以B为原点，∴P(
31
7
，
12
7
)，
综上所述，满足条件的P点的坐标为 (
64
13
，
30
13
)或 (
31
7
，
12
7
)．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
（1）利用解直角三角形的性质，cos∠ACB等于∠ACB的邻边除以斜边得出即可；
（2）首先表示出△POC的面积，再利用△ABC减去△POC的面积即可得出答案．
（3）根据△CPO与△ABC相似，则要考虑以下2种情况：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分别求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
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