试题

题目：
青果学院（1997·浙江）如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，记△ADE的面积为S1，△ABC的面积为S2，则
S1
S2
=（　　）



答案
D
青果学院解：如图，连接BE．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=
AE
AB
，
∵点D、B、C、E四点共圆，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴
AE
AB
=
AD
AC
．
∵S1=
1
2
AE·AD·sinA，S2=
1
2
AB·AC·sinA，
S1
S2
=
AE·AD
AB·AC
=
AE2
AB2
=cos2A．
故选D．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
如图，连接BE．构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得cosA=
AE
AB
；然后通过相似三角形△AED∽△ABC的对应边的比成比例知
AE
AB
=
AD
AC
；最后结合三角形的面积公式分别求得△ADE、△ABC的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形等知识点．解答该题时，借用了圆内接四边形的内对角互补的性质．
压轴题．
找相似题