试题

题目：
已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，BC=6，AB=4
3
．在线段AB上有一点P，且P，C，D三点构成的三角形与P，A，D三点构成的三角形相似．则AP的长为
2
3
或
3
2
3
或
3
．
答案
2
3
或
3

解：P、A、D三点构成的三角形是直角三角形，
因而若且P、C、D三点构成的三角形与P、A、D三点构成的三角形相似．
则△PCD是直角三角形，
点P在线段AB上，则最长等于BD，
根据勾股定理得到BD=2
26
＜CD，
则直角三角形中∠DPC是直角，
因而△APD∽△BCP，
得到
AP
BC
=
AD
BP
．
设AP=x，则得到
x
6
=
2
4
3
-x
，
解得：x=2
3

即AP的长为2
3
．
另外还有一种情况结果是
3
考点梳理
相似三角形的性质；直角梯形．
能正确判断△PCD是直角三角形，∠DPC是直角，因而得到△APD∽△BCP是解决本题的关键．再根据相似三角形的性质可求AP的长．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
压轴题．
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