试题

题目：
顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC=
2（
5
-1）
2（
5
-1）
cm．
答案
2（
5
-1）

青果学院解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°，
∴BD=AD=BC，
∴△ABC∽△BCD，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD·AC=（AC-BC）·AC，
∵AC=4，
∴BC2=4（4-BC），
BC2+4BC-16=0，
解得BC=2（
5
-1）cm．
故答案为：2（
5
-1）．
考点梳理
黄金分割；相似三角形的性质．
根据相似三角形的判定和性质，可以证明底与腰的比是黄金比．则BC=4×
5
-1
2
=2（
5
-1）．
此题能够综合运用等腰三角形的性质和相似三角形的性质与判定证明：顶角为36°的等腰三角形的底边和腰的比是黄金比．
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