试题

（2010·江西模拟）等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当a=30°时，求△OAB与△OA₁B₁重合部分（图2中的阴影部分）的面积；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，求a的值；
（4）当60＜a＜180时，设直线A₁B₁与BA相交于点P，PA、PB₁的长是方程x²-mx+m=0的两个实数根，求此时点P的坐标．

解：（1）B的坐标是（1，

3

）；（1分）

（2）图2中的阴影部分的面积=S_△OAN-S_△OAM
=

1

2

×1×

3

-

1

2

×(2-

3

)×(2-

3

)

3

=6-3

3

；（3分）

（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，
∴a₁=120°或a₂=300°；（5分）

（4）连接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，（7分）
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4（8分）
方程为：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP·sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AP·cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，-

3

）（10分）
解：（1）B的坐标是（1，

3

）；（1分）

（2）图2中的阴影部分的面积=S_△OAN-S_△OAM
=

1

2

×1×

3

-

1

2

×(2-

3

)×(2-

3

)

3

=6-3

3

；（3分）

（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，
∴a₁=120°或a₂=300°；（5分）

（4）连接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，（7分）
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4（8分）
方程为：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP·sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AP·cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，-

3

）（10分）