试题

（2011·宝山区一模）如图，已知抛物线 y=-x²+bx+c过点A（2，0），对称轴为y轴，顶点为P．
（1）求该抛物线的表达式，写出其顶点P的坐标，并画出其大致图象；
（2）把该抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞0 ），记新抛物线的顶点为B，与y轴的交点为C．
①试用m的代数式表示点B、点C的坐标；  ②若∠OBC=45°，试求m的值．

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（2，0），对称轴为y轴，代入得：

0=-4+2b+c - b 2×(-1) =0

∴b=0，c=4，
∴y=-x²+4，
当x=0时y=4，
P的坐标是（0，4），
大致图象如图（1）：
所以：该抛物线的表达式是：y=-x²+4，其顶点P的坐标是：（0，4）．

（2）①∵抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞0）
∴B（m，4-m），
∵y=-（x-m）²+4-m，
当x=0时代入得：y=-m²-m+4，
∴C（0，-m²-m+4），
所以，用m的代数式表示点B的坐标是：（m，4-m），点C的坐标是：（0，-m²-m+4）．

②过B作BN⊥y轴于N，
∵由已知，抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位，
∴PN=BN=m，∠BNP=90°
∠OPB=∠PBN=45°，又∠OBC=45°，
∴∠OPB=∠CBO=45°
又∵∠POB=∠POB，
∴△OCB与△OBP相似．
当点C在y轴正半轴，即-m²-m+4＞0时BO²=OC·OP，
∵BO²=2m²-8m+16，OC=-m²-m+4，OP=4．
解得m1=0(舍去)，m2=

2

3

，
另解：过点C作CD⊥OB于点D，过点B作BE⊥OC于点E，
同理利用△CPB∽△CBO
当点C在y轴负半轴，点-m²-m+4＜0时BC²=OC·CP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m．
解得m1=0(舍去)，m2，3=1±

3

（负根舍去）
∴m=1+

3

，
所以m的值是

2

3

或1+

3

．
解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（2，0），对称轴为y轴，代入得：

0=-4+2b+c - b 2×(-1) =0

∴b=0，c=4，
∴y=-x²+4，
当x=0时y=4，
P的坐标是（0，4），
大致图象如图（1）：
所以：该抛物线的表达式是：y=-x²+4，其顶点P的坐标是：（0，4）．

（2）①∵抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞0）
∴B（m，4-m），
∵y=-（x-m）²+4-m，
当x=0时代入得：y=-m²-m+4，
∴C（0，-m²-m+4），
所以，用m的代数式表示点B的坐标是：（m，4-m），点C的坐标是：（0，-m²-m+4）．

②过B作BN⊥y轴于N，
∵由已知，抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位，
∴PN=BN=m，∠BNP=90°
∠OPB=∠PBN=45°，又∠OBC=45°，
∴∠OPB=∠CBO=45°
又∵∠POB=∠POB，
∴△OCB与△OBP相似．
当点C在y轴正半轴，即-m²-m+4＞0时BO²=OC·OP，
∵BO²=2m²-8m+16，OC=-m²-m+4，OP=4．
解得m1=0(舍去)，m2=

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，
另解：过点C作CD⊥OB于点D，过点B作BE⊥OC于点E，
同理利用△CPB∽△CBO
当点C在y轴负半轴，点-m²-m+4＜0时BC²=OC·CP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m．
解得m1=0(舍去)，m2，3=1±

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（负根舍去）
∴m=1+

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，
所以m的值是

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或1+

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