试题

（2005·长沙）已知抛物线y=ax²+bx-1经过点A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．
（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；
（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；
（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求m的值．

解：（1）依题意得：

a-b-1=0 m2a+mb-1=0

，
解得：

a= 1 m b= 1-m m

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

m

x²+

1-m

m

x-1；

（2）∵x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC=

m2+1

，
∴S=

1

4

π·MC2=

1

4

π·

BC2

2

=

(m2+1)π

8

；

（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则P关于对称轴的对称点P'也符合题意，即P、P'对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，

AB

AP

=

AC

AB

，
过P作PD⊥x轴垂足为D，连PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在抛物线上，
则有x+1=

1

m

x²+

1-m

m

x-1．
即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）显然P₂不合题意，舍去．
此时AP=

2

PD=（2m+1）

2

；①
又由

AB

AP

=

AC

AB

，得AP=

AB2

AC

=

(m+1)2

2

；②
由①、②有：（2m+1）

2

=

(m+1)2

2

．
整理得：m²-2m-1=0，
解得：m=1±

2

，
∵m＞0，
∴m=1+

2

．
即若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则m=1+

2

；（8分）

情形二：△ABC∽△PAB，
则∠PAB=∠ABC，

AB

AP

=

BC

AB

，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴

PD

AD

=

OC

OB

=

1

m

，
∴可令P（x，

1

m

（x+1）），
若P在抛物线上，则有

1

m

（x+1）=

1

m

x²+

1-m

m

x-1．
整理得：x²-mx-m-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=m+1，
∴P（m+1，

1

m

（m+2））或P（-1，0），
显然P（-1，0）不合题意，舍去．
此时AP=

AD2+PD2

=

(m+2) m2+1

m

；①
又由

AB

AP

=

BC

AB

得：AP=

AB2

BC

=

(m+1)2

m2+1

；②
由①、②得：

(m+2) m2+1

m

=

(m+1)2

m2+1

，
整理得m²=m²+1，显然无解．（10分）
综合情形一二得：若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则m=1+

2

．
解：（1）依题意得：

a-b-1=0 m2a+mb-1=0

，
解得：

a= 1 m b= 1-m m

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

m

x²+

1-m

m

x-1；

（2）∵x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC=

m2+1

，
∴S=

1

4

π·MC2=

1

4

π·

BC2

2

=

(m2+1)π

8

；

（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则P关于对称轴的对称点P'也符合题意，即P、P'对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，

AB

AP

=

AC

AB

，
过P作PD⊥x轴垂足为D，连PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在抛物线上，
则有x+1=

1

m

x²+

1-m

m

x-1．
即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）显然P₂不合题意，舍去．
此时AP=

2

PD=（2m+1）

2

；①
又由

AB

AP

=

AC

AB

，得AP=

AB2

AC

=

(m+1)2

2

；②
由①、②有：（2m+1）

2

=

(m+1)2

2

．
整理得：m²-2m-1=0，
解得：m=1±

2

，
∵m＞0，
∴m=1+

2

．
即若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则m=1+

2

；（8分）

情形二：△ABC∽△PAB，
则∠PAB=∠ABC，

AB

AP

=

BC

AB

，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴

PD

AD

=

OC

OB

=

1

m

，
∴可令P（x，

1

m

（x+1）），
若P在抛物线上，则有

1

m

（x+1）=

1

m

x²+

1-m

m

x-1．
整理得：x²-mx-m-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=m+1，
∴P（m+1，

1

m

（m+2））或P（-1，0），
显然P（-1，0）不合题意，舍去．
此时AP=

AD2+PD2

=

(m+2) m2+1

m

；①
又由

AB

AP

=

BC

AB

得：AP=

AB2

BC

=

(m+1)2

m2+1

；②
由①、②得：

(m+2) m2+1

m

=

(m+1)2

m2+1

，
整理得m²=m²+1，显然无解．（10分）
综合情形一二得：若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则m=1+

2

．