试题

题目：
青果学院（2013·大丰市一模）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF=
5
3
或
3
2
5
3
或
3
2
．
答案
5
3
或
3
2

解：①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x，则BE=4-x，
易求△ADE∽△BEF，
∴
AD
BE
=
DE
EF
，
即
3
4-x
=
DE
EF
，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△ADE是相似三角形，
∴
DE
EF
=
AD
BE
或
DE
EF
=
BE
AD
，青果学院
∴
3
4-x
=
3
x
或
3
4-x
=
x
3
，
整理得，6x=12或x2-4x+9=0（无解），
解得x=2，
∴BE=4-2=2，
3
2
=
2
BF
，
解得BF=
4
3
，
CF=3-
4
3
=
5
3
；

②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x，则BF=3-x，
易求△BEF∽△CFD，
∴
DC
BF
=
DF
EF
，
即
4
3-x
=
DF
EF
，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△DCF是相似三角形，
∴
DE
EF
=
DC
CF
或
DE
EF
=
CF
DC
，
即
4
3-x
=
4
x
或
4
3-x
=
x
4
，
整理得，8x=12或x2-3x+16=0（无解），
解得x=
3
2
；
综上所述，CF的值为
5
3
或
3
2
．
故答案为：
5
3
或
3
2
．
考点梳理
相似三角形的性质；矩形的性质．
分①∠DEF=90°时，设AE=x，表示出BE=4-x，然后根据△ADE和△BEF相似，根据相似三角形对应边成比例可得
AD
BE
=
DE
EF
，再根据相似三角形的邻边之比分两种情况列式求出x的值，然后求出BE，再求出BF、CF的值即可得解；②∠DFE=90°时，设CF=x，然后根据△BEF和△CFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得
DC
BF
=
DF
EF
，再根据相似三角形的邻边之比分两种情况列式求出x的值，即可得解．
本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，主要利用了相似三角形的对应边成比例的性质，难点在于根据相似三角形的邻边的比列出方程并讨论求解．
分类讨论．
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