试题

题目：
青果学院如图，已知△ABC是面积为
3
的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）．
答案
青果学院解：∵AB=2AD，
∴
AB
AD
=2，
又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为
3
，
∴
S△ABC
S△ADE
=4，
∴S△ADE=
3
4
，
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，其面积为
1
2
AE·AE·sin60°=
3
4
，
即
3
4
AE2=
3
4
，
∴AE=1，
作FG⊥AE于G，
∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠EAF=45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
设AG=FG=h，在直角三角形FGE中，
∵∠E=60°，EG=1-h，FG=h，
∴tan∠E=
FG
EG
，即tan60°=
h
1-h
，解得h=
3
1+
3
，
∴S△AEF=
1
2
×1×
3
1+
3
=
3-
3
4
．
青果学院解：∵AB=2AD，
∴
AB
AD
=2，
又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为
3
，
∴
S△ABC
S△ADE
=4，
∴S△ADE=
3
4
，
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，其面积为
1
2
AE·AE·sin60°=
3
4
，
即
3
4
AE2=
3
4
，
∴AE=1，
作FG⊥AE于G，
∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠EAF=45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
设AG=FG=h，在直角三角形FGE中，
∵∠E=60°，EG=1-h，FG=h，
∴tan∠E=
FG
EG
，即tan60°=
h
1-h
，解得h=
3
1+
3
，
∴S△AEF=
1
2
×1×
3
1+
3
=
3-
3
4
．
考点梳理
相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
先根据AB=2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面积为
3
求出△ADE的面积，再判断出△ADE的形状，根据等边三角形的面积求出AE的长，作FG⊥AE于G，由等边三角形及直角三角形的性质判断出△AFG是等腰直角三角形，设AG=FG=h，在直角三角形FGE中利用锐角三角函数的定义即可求出h的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质及等边三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
探究型．
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