试题

题目：
青果学院如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似．设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．
答案
青果学院解：假设这样的点E存在，由三个三角形相似知：
AD
AE
=
BE
BC
，即
a
x
=
b-x
a
，
∴x2-bx+a2=0，
由于△=b2-4a2，
即（1）当b=2a时，△=0，这样的点E只有一个；
（2）当b＞2a时，△＞0，这样的点E只有两个；
（3）当b＜2a时，△＜0，这样的点E不存在．
青果学院解：假设这样的点E存在，由三个三角形相似知：
AD
AE
=
BE
BC
，即
a
x
=
b-x
a
，
∴x2-bx+a2=0，
由于△=b2-4a2，
即（1）当b=2a时，△=0，这样的点E只有一个；
（2）当b＞2a时，△＞0，这样的点E只有两个；
（3）当b＜2a时，△＜0，这样的点E不存在．
考点梳理
相似三角形的性质；根与系数的关系；矩形的性质．
根据相似三角形的性质建立a、b、x的二次方程，由根的判别式分析讨论点E的情况．
本题主要利用了相似三角形的性质和一元二次方程的根与系数的关系求解．
开放型；分类讨论．
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