试题

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；
（2）已知AB=10，AC=8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6．
∵△ABC的面积=

1

2

AB·CD=

1

2

AC·BC，
∴CD=

AC·BC

AB

=

6×8

10

=4.8；

（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB=

BC2-OC2

=3.6．
分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴

BP

AB

=

BQ

BC

，
∴

6-t

10

=

t

6

，
解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=

BP2-BQ2

=

3.752-2.252

=3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴

BP

BC

=

BQ

AB

，
∴

6-t

6

=

t

10

，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴

PE

CO

=

BQ

AB

，即

PE

4.8

=

3.75

10

，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE=

BP2-PE2

=

2.252-1．82

=0.45，
∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15，
∴点P的坐标为（3.15，1.8）；
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．