试题

题目：
青果学院如图所示，已知Rt△ABC中，AH为斜边BC上的高，M为BC中点，O为△ABC外心，OB交AH于D．求证：AD=2DH．
答案
青果学院证明：∵O为外心，∴连接CE，∴B、A、E三点共线，
连接EM交OB于G，∴G为△EBC重心．
∵O为外心，∴EM⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥EM．
∵G为重心，∴
EG
GM
=2．
∴
AD
DH
=
EG
GM
，
∴AD=2DH．
青果学院证明：∵O为外心，∴连接CE，∴B、A、E三点共线，
连接EM交OB于G，∴G为△EBC重心．
∵O为外心，∴EM⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥EM．
∵G为重心，∴
EG
GM
=2．
∴
AD
DH
=
EG
GM
，
∴AD=2DH．
考点梳理
三角形的五心；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质．
因为O为外心，所以连接CE（直径）后，易知B、A、E三点共线，连接EM交OB于G，显然G为△EBC重心．故EM⊥BC，AH⊥BC，从而得出AH∥EM．又G为重心，故
EG
GM
=2．从而
AD
DH
=
EG
GM
，于是得出结论．
本题考查了三角形的外心和垂心，以及相似三角形的性质，是一道竞赛题，难度较大．
计算题．
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