试题

题目：
青果学院（2004·陕西）如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（　　）



答案
D
解：若设PC=x，则BP=a-x，
∵△ABP∽△PCD，
∴
AB
PC
=
BP
CD
，即
b
x
=
a-x
b
，
即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：a2-4b2≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，则a-2b≥0，
∴a≥2b．
故本题选D．
考点梳理
相似三角形的性质；根的判别式；解分式方程．
本题可结合方程思想来解答．由于△ABP和△DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式．设PC=x，那么BP=a-x，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小关系．
本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决．
压轴题；存在型；方程思想；转化思想．
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