试题

（2012·和平区一模）一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？

解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，
∴BC=6，AC=AB·cos30°=12×

3

2

=6

3

．
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥AC．
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

BA

．
设AE=x，则BE=12-x．
EF=

6 3 (12-x)

12

=

3

2

(12-x)．
在Rt△ADE中，DE=

1

2

AE=

1

2

x．                   
矩形CDEF的面积S=DE·EF=

1

2

x·

3

2

(12-x)=-

3

4

x2+3

3

x（0＜x＜6）．                
当x=-

b

2a

=-

3 3

2×(- 3 4 )

=6时，S有最大值．
∴点E应选在AB的中点处．
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，
∴BC=6，AC=AB·cos30°=12×

3

2

=6

3

．
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥AC．
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

BA

．
设AE=x，则BE=12-x．
EF=

6 3 (12-x)

12

=

3

2

(12-x)．
在Rt△ADE中，DE=

1

2

AE=

1

2

x．                   
矩形CDEF的面积S=DE·EF=

1

2

x·

3

2

(12-x)=-

3

4

x2+3

3

x（0＜x＜6）．                
当x=-

b

2a

=-

3 3

2×(- 3 4 )

=6时，S有最大值．
∴点E应选在AB的中点处．