试题

题目：
青果学院如图，小明把小球竖直向上抛起，当小球到达最高点时球的最高点正好处于距离屋顶白炽灯10cm的位置，且灯与球心所在直线垂直于地面，这时小球在地面的影子的面积为1.92πm2．已知，灯与地面的距离为2.4m，小球的半径为
10
10
cm．
答案
10

青果学院解：如图，∵灯与球心所在直线垂直于地面，
∴AC⊥BC，
∵小球在地面的影子的面积为1.92πm2，
∴π·BC2=1.92π，
解得BC=
4
5
3
，
根据勾股定理，AB=
AC2+BC2
=
2.42+1.92
=
8
5
3
，
∵光线AB与球相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
又∵∠BAC=∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，
∴
BC
OD
=
AB
AO
，
即
4
5
3
OD
=
8
5
3
OD+10
，
解得OD=10cm．
故答案为：10．
考点梳理
相似三角形的应用；切线的性质．
设一个切点为D，球心为O，在图中标注字母，根据圆的面积公式求出地面影子圆的半径，再利用勾股定理求出AB的长，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，切线的性质，勾股定理的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于确定小球的半径OD不是与地面平行，而是与AB垂直．
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