试题

题目：
有一块直角三角形木板如图所示，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．
答案
青果学院解：方案一：如图（1），
作CM⊥AB于M，交DE于N．
设正方形边长为xcm．
由S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CM
知：CM=
AC·BC
AB
=
12
5
（1分）
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB，（2分）
即：
CN
CM
=
DE
AB

∴
12
5
-x
12
5
=
x
5

∴x=
60
37
（3分）
方案二：如图（2）设正方形边长为ycm．
∵EF∥AC
∴△BFE∽△BCA，（4分）
∴
BF
BC
=
EF
AC

即　
3-y
3
=
y
4

∴y=
12
7
=
60
35
（5分）
∵x＜y，
∴方案二裁出的正方形的面积最大．（6分）
这时正方形的边长是
12
7
cm．（7分）
青果学院解：方案一：如图（1），
作CM⊥AB于M，交DE于N．
设正方形边长为xcm．
由S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CM
知：CM=
AC·BC
AB
=
12
5
（1分）
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB，（2分）
即：
CN
CM
=
DE
AB

∴
12
5
-x
12
5
=
x
5

∴x=
60
37
（3分）
方案二：如图（2）设正方形边长为ycm．
∵EF∥AC
∴△BFE∽△BCA，（4分）
∴
BF
BC
=
EF
AC

即　
3-y
3
=
y
4

∴y=
12
7
=
60
35
（5分）
∵x＜y，
∴方案二裁出的正方形的面积最大．（6分）
这时正方形的边长是
12
7
cm．（7分）
考点梳理
相似三角形的应用．
方案一：根据题意画出图形，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm，再根据直角三角形的面积得出CM的长，利用相似三角形的判定定理即可得出△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；
方案二：如图（2）设正方形边长为ycm，利用相似三角形的判定定理即可得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能根据题意画出图形，作出辅助线，再根据相似三角形的判定定理及性质进行解答即可．
探究型．
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