试题

（2005·泉州质检）如图，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合．
（1）请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC重叠部分面积的大小；
（2）设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y（cm²）．
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；
②在该正方形整个运动过程中，求当x为何值时，y=

1

2

．

解：（1）如图1，重叠部分的面积为

1

2

×2²=2cm²

（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图2，

当6＜x＜8时，设正方形DEFG与AB交于点M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重叠部分面积：y=S_△MEB=

1

2

·EB²=

1

2

（8-x）²
②在正方形运动过程中，分四种情况：当0＜x＜2时，如图3，

重叠部分面积y=2x，且0＜y＜4
令y=

1

2

，得2x=

1

2

，解得x=

1

4

当2≤x≤4时，如图4，

重叠部分面积都为4cm²，此时y≠

1

2

当4＜x≤6时，如图5，

易见重叠部分面积y随x的增大而减小
由上面得出的结论知当x=4时，y=4；由（1）知当x=6时，y=2
∴2≤y＜4，此时y≠

1

2

当6＜x＜8时，由（2）①已求得y=

1

2

（8-x）²=

1

2

（x-8）²，
∵y随x的增大而减小，又当x=6时，y=2，当x=8时，y=0时，
∴0＜y＜2
令y=

1

2

（x-8）²=

1

2

，解得x₁=7，x₂=9（不合题意，舍去）
∴x=7
综上，当x=

1

4

或x=7时，y=

1

2

．
解：（1）如图1，重叠部分的面积为

1

2

×2²=2cm²

（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图2，

当6＜x＜8时，设正方形DEFG与AB交于点M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重叠部分面积：y=S_△MEB=

1

2

·EB²=

1

2

（8-x）²
②在正方形运动过程中，分四种情况：当0＜x＜2时，如图3，

重叠部分面积y=2x，且0＜y＜4
令y=

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2

，得2x=

1

2

，解得x=

1

4

当2≤x≤4时，如图4，

重叠部分面积都为4cm²，此时y≠

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当4＜x≤6时，如图5，

易见重叠部分面积y随x的增大而减小
由上面得出的结论知当x=4时，y=4；由（1）知当x=6时，y=2
∴2≤y＜4，此时y≠

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当6＜x＜8时，由（2）①已求得y=

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（8-x）²=

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（x-8）²，
∵y随x的增大而减小，又当x=6时，y=2，当x=8时，y=0时，
∴0＜y＜2
令y=

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（x-8）²=

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，解得x₁=7，x₂=9（不合题意，舍去）
∴x=7
综上，当x=

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或x=7时，y=

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