试题

（2007·咸宁）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y₁（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y₂（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y₁与t的变化规律，写出y₁与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y₂与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

解：（1）由图表数据观察可知y₁与t之间是二次函数关系，
设y₁=a（t-0）（t-30）
再代入t=5，y₁=25可得：
a=-

1

5

∴y₁=-

1

5

t（t-30）（0≤t≤30）；

（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y₂=2t，当20≤t≤30时，y₂=-4t+120，
∴y₂=

2t(0≤t＜20) -4t+120(20≤t≤30)

；

（3）当0≤t＜20时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）+2t=80-

1

5

（t-20）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，
当20≤t≤30时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）-4t+120=125-

1

5

（t-5）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
解：（1）由图表数据观察可知y₁与t之间是二次函数关系，
设y₁=a（t-0）（t-30）
再代入t=5，y₁=25可得：
a=-

1

5

∴y₁=-

1

5

t（t-30）（0≤t≤30）；

（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y₂=2t，当20≤t≤30时，y₂=-4t+120，
∴y₂=

2t(0≤t＜20) -4t+120(20≤t≤30)

；

（3）当0≤t＜20时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）+2t=80-

1

5

（t-20）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，
当20≤t≤30时，y=y₁+y₂=-

1

5

t（t-30）-4t+120=125-

1

5

（t-5）²，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．