试题

（2008·青海）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；
（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

解：（1）设y=kx，把（2，4）代入，
得k=2．
∴y=2x．（1分）
自变量x的取值范围是：
15≤x≤30．（2分）

（2）当0≤x≤5时，设y=a（x-5）²+25，（3分）
把（0，0）代入，得
25a+25=0，a=-1．
∴y=-（x-5）²+25=-x²+10x．（5分）
当5≤x≤15时，y=25（6分）
即y=

-x2+10x(0≤x≤5) 25(5≤x≤15)

．

（3）设王亮用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，
则他用于解题的时间为（30-x）分钟．
当0≤x≤5时，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76．（7分）
∴当x=4时，Z_最大=76．（8分）
当5＜x≤15时，Z=25+2（30-x）=-2x+85．（9分）
∵Z随x的增大而减小，
∴当x=5时，Z_最大=75
综合所述，当x=4时，Z_最大=76，此时30-x=26．（10分）
即王亮用于解题的时间为（26分）钟，用于回顾反思的时间为（4分）钟时，学习收益总量最大．（11分）
解：（1）设y=kx，把（2，4）代入，
得k=2．
∴y=2x．（1分）
自变量x的取值范围是：
15≤x≤30．（2分）

（2）当0≤x≤5时，设y=a（x-5）²+25，（3分）
把（0，0）代入，得
25a+25=0，a=-1．
∴y=-（x-5）²+25=-x²+10x．（5分）
当5≤x≤15时，y=25（6分）
即y=

-x2+10x(0≤x≤5) 25(5≤x≤15)

．

（3）设王亮用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，
则他用于解题的时间为（30-x）分钟．
当0≤x≤5时，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76．（7分）
∴当x=4时，Z_最大=76．（8分）
当5＜x≤15时，Z=25+2（30-x）=-2x+85．（9分）
∵Z随x的增大而减小，
∴当x=5时，Z_最大=75
综合所述，当x=4时，Z_最大=76，此时30-x=26．（10分）
即王亮用于解题的时间为（26分）钟，用于回顾反思的时间为（4分）钟时，学习收益总量最大．（11分）