试题

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
（1）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

解：（1）侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10时，y_最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm²．

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为xcm．
y=2（60-3x）x=-6x²+12x=-6（x-10）²+600，
∴x=10时，y_最大=600．
解：（1）侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10时，y_最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm²．

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为xcm．
y=2（60-3x）x=-6x²+12x=-6（x-10）²+600，
∴x=10时，y_最大=600．