试题

（2010·孝感）如图，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动（不与B，C重合），过点D作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）在图1中，当AD=2

10

，求AE的长；
（2）当点D为

BC

的中点时：
①DE与⊙O的位置关系是；
②求△ADC的内切圆半径r．

解：（1）如图，△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°，
又DE∥BC，
∴∠E=∠ACB；
又∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，又AD=2

10

，
∴AE=

AD2

AC

=

40

6

=

20

3

（或6

2

3

）．

（2）①∵D是

BC

的中点，
∴AD平分∠BAC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AD垂直平分BC，即AD是⊙O的直径；
∵DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
②如图2，当D为

BC

的中点时，则

BD

=

DC

，
∴∠BAD=∠DAC=30°，又AB=AC
∴AD垂直平分BC．
AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=6，
∴DC=6·tan30°=6×

3

3

=2

3

∴AD=2DC=4

3

；
作Rt△ADC的内切圆⊙O′，
分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r，
∴AG=AF=6-r，DH=DF=2

3

-r；
∵AF+DF=AD，
∴6-r+2

3

-r=4

3

．
-2r=-6+2

3

，
∴r=3-

3

．