试题

题目：
青果学院如图，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R，且PQ=1，则PR的长等于
3
3
3
3
．
答案
3
3

青果学院解：连接CR，并延长交AB于T，
则∠PRQ=∠PRC+∠CRQ=∠BRT+∠ART=
1
2
∠B+
1
2
∠C+
1
2
∠A+
1
2
∠C=
1
2
（∠A+∠B）+∠C，
∵P、Q、C、R四点共圆，
∴
1
2
（∠A+∠B）+2∠C=180°，
1
2
（∠A+∠B+∠C）+
3
2
∠C=180°，
∴∠C=60°，从而∠PRQ=120°，
∵R是内心，∴PR=QR，∴PR=
3
3
．
故答案为
3
3
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；圆内接四边形的性质．
连接CR，并延长交AB于T，可求得∠PRQ=
1
2
（∠A+∠B）+∠C，由P、Q、C、R四点共圆，得
1
2
（∠A+∠B）+2∠C=180°，从而求得PR的值．
本题考查了三角形的内切圆和圆内接四边形的性质．
计算题．
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