试题

（2010·安次区一模）阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆O的半径为r，探究r与S、l之间的关系．连接OA，OB，OC∵S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S△OAB=

1

2

AB·r，S△OBC=

1

2

BC·r，S△OCA=

1

2

CA·r
∴S=

1

2

AB·r+

1

2

BC·r+

1

2

CA·r=

1

2

l·r
∴r=

2S

l

解决问题：
（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图2且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

解：（1）∵5²+12²=13²，
∴三角形为直角三角形（2分）
面积S=

1

2

×5×12=30，
∴r=

2×30

5+12+13

=2；（4分）

（2）设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，
则S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=

1

2

AB·r+

1

2

BC·r+

1

2

CD·r+

1

2

DA·r=

1

2

（a+b+c+d）·r，
∴r=

2s

a+b+c+d

；（8分）

（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切n边形中，有r=

2s

a1+a2+…+an

成立．（10分）
解：（1）∵5²+12²=13²，
∴三角形为直角三角形（2分）
面积S=

1

2

×5×12=30，
∴r=

2×30

5+12+13

=2；（4分）

（2）设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，
则S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=

1

2

AB·r+

1

2

BC·r+

1

2

CD·r+

1

2

DA·r=

1

2

（a+b+c+d）·r，
∴r=

2s

a+b+c+d

；（8分）

（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切n边形中，有r=

2s

a1+a2+…+an

成立．（10分）