试题

题目：
青果学院如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是
8
32009
8
32009
．
答案
8
32009

青果学院解：如图；
Rt△O1BD中，∠O1BD=30°；
∴
BD
O1B
=cos30°=
3
2
；
∴
BC
O1B
=
2BD
O1B
=
3
，
∴S△O1BP1=
1
3
S△ABC=
8
3
；
同理可求得S△O2BP2=
1
3
S△O1BP1=
1
3
×
1
3
S△ABC=（
1
3
）2×8；
依此类推，S△OnBPn=（
1
3
）n×8=
8
3n
；
当n=2009时，△O2009BP2009的面积是
8
32009
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
根据正三角形的内心和外心重合，则每后一个正三角形的边长是前一个正三角形的外接圆的半径，它们的边长比是
3
3
．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，得每后一个正三角形的面积是前一个正三角形的面积的
1
3
，所以要求的正三角形的面积是
8
32009
．
解答此类题一般要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
压轴题；规律型．
找相似题