试题

题目：
青果学院如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
（3）求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
答案
青果学院解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC=
1
2
×BC×AD=
1
2
(AB+BC+CA)r·r=
40
3
；
青果学院
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=
502-402
=30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=
125
3
；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．

（3）外接圆的圆心为O′，内切圆的圆心为O，
AO′=R=
125
3
，AO=30-
40
3
=
50
3
，
所以OO′=
125
3
-
50
3
=25．
青果学院解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC=
1
2
×BC×AD=
1
2
(AB+BC+CA)r·r=
40
3
；
青果学院
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=
502-402
=30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=
125
3
；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．

（3）外接圆的圆心为O′，内切圆的圆心为O，
AO′=R=
125
3
，AO=30-
40
3
=
50
3
，
所以OO′=
125
3
-
50
3
=25．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解；
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
计算题；作图题．
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