试题

如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．
（1）求证：BD=DI；
（2）若OI⊥AD，求

AB+AC

BC

的值．

（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）解：连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴

AB+AC

BC

=2．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）解：连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴

AB+AC

BC

=2．