试题

已知：三角形ABC三边a、b、c满足a²=b²+c²-bc，b²=a²+c²-ac，c²=a²+b²-ab，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若等边△ABC的面积为4，其内心为O₁，连接BO₁，以BO₁为边作等边△BO₁B₁，记等边△BO₁B₁的面积S₁，取△BO₁B₁的内心O₂，连BO₂，以BO₂为边作等边△BO₂B₂，记等边△BO₂B₂的面积为S₂，依次作等边三角形…记△BO₂₀₁₀B₂₀₁₀的面积为S₂₀₁₀，求S₁、S₂及S₂₀₁₀的值．

（1）证明：∵a²=b²+c²-bc，b²=a²+c²-ac，c²=a²+b²-ab，
∴a²+b²+c²=b²+c²-bc+a²+c²-ac+a²+b²-ab，
∴0=a²+b²+c²-bc-ac-ab，
∴0=2a²+2b²+2c²-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：延长BO₁交AC于D
∵O₁为△ABC的内心，
∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=

3

x，
∴S_△ABC=

2x· 3 x

2

=4
∴

3

x²=4
在Rt△ADO₁中，由勾股定理，得
DO₁=

3

3

x
∴BO₁=

2 3

3

x
∴EO₁=

3

3

x，BE=x
∴S₁=

3

3

x²=

4

3

同理可以求出BO₂=

2

3

x，O₂F=

1

3

x，BF=

3

3

x
S₂=

2 3 x· 3 3 x

2

=

3

9

x²=

4

9

同理可得：S₃=

4

27

…S_n=

4

3n

∴S₂₀₁₀=

4

32010

答：S₁=

4

3

，S₂=

4

9

，S₂₀₁₀=

4

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（1）证明：∵a²=b²+c²-bc，b²=a²+c²-ac，c²=a²+b²-ab，
∴a²+b²+c²=b²+c²-bc+a²+c²-ac+a²+b²-ab，
∴0=a²+b²+c²-bc-ac-ab，
∴0=2a²+2b²+2c²-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：延长BO₁交AC于D
∵O₁为△ABC的内心，
∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=

3

x，
∴S_△ABC=

2x· 3 x

2

=4
∴

3

x²=4
在Rt△ADO₁中，由勾股定理，得
DO₁=

3

3

x
∴BO₁=

2 3

3

x
∴EO₁=

3

3

x，BE=x
∴S₁=

3

3

x²=

4

3

同理可以求出BO₂=

2

3

x，O₂F=

1

3

x，BF=

3

3

x
S₂=

2 3 x· 3 3 x

2

=

3

9

x²=

4

9

同理可得：S₃=

4

27

…S_n=

4

3n

∴S₂₀₁₀=

4

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答：S₁=

4

3

，S₂=

4

9

，S₂₀₁₀=

4

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