试题

如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°．
（1）求证：△BDE是等边三角形．
（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想．

（1）证明：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所对的圆周角，
∴∠BCA=∠BDA=60°，
又∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AE、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠BCA）÷2=60°，
∴∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形．

（2）答：四边形BDCE是菱形，
证明：∵∠BDC=120°，
由（1）得∠EDC=60°，
∵∠BED=60°，
同（1）得，可推出∠BEC=120°，
∴△DCE是等边三角形，
∴CE=CD=DE，
由（1）得△BDE是等边三角形，
∴BE=BD=DE，
∴CE=BE=BD=CD，
∴四边形BDCE是菱形．
（1）证明：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所对的圆周角，
∴∠BCA=∠BDA=60°，
又∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AE、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠BCA）÷2=60°，
∴∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形．

（2）答：四边形BDCE是菱形，
证明：∵∠BDC=120°，
由（1）得∠EDC=60°，
∵∠BED=60°，
同（1）得，可推出∠BEC=120°，
∴△DCE是等边三角形，
∴CE=CD=DE，
由（1）得△BDE是等边三角形，
∴BE=BD=DE，
∴CE=BE=BD=CD，
∴四边形BDCE是菱形．