试题

（2013·安徽模拟）如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，
（1）求证：∠BOD=∠COE．
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长．

（1）证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=

1

2

∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC+∠ACB]
=180°-[

1

2

（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[

1

2

（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+

1

2

∠ACB]
=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-

1

2

∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．

（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC²+BC²=289，
AB²=289，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴EO=

8+15-17

2

=3．
（1）证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=

1

2

∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC+∠ACB]
=180°-[

1

2

（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[

1

2

（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+

1

2

∠ACB]
=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-

1

2

∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．

（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC²+BC²=289，
AB²=289，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴EO=

8+15-17

2

=3．