试题

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．
（1）求证：BE+DF=EF；
（2）若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．

（1）证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，

DG=BE ∠GDA=∠ABE=90° AD=AB

，
∴△GDA≌△EBA，
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
∵

AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF

，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；

（2）解：令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r=

1-a+1-b-(a+b)

2

=1-（a+b），
∵（1-a）²+（1-b）²=（a+b）²，
整理得1-（a+b）=ab，而ab≤

1

4

（a+b）²，

1

4

（a+b）²+（a+b）-1≥0，
解得：a+b≥-2+2

2

或a+b≤-2-2

2

（舍去），
r=1-（a+b）≤1-（-2+2

2

）=3-2

2

，
当且仅当a=b=

2

-1时，等号成立．
（1）证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，

DG=BE ∠GDA=∠ABE=90° AD=AB

，
∴△GDA≌△EBA，
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF和△EAF中，
∵

AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF

，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；

（2）解：令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r=

1-a+1-b-(a+b)

2

=1-（a+b），
∵（1-a）²+（1-b）²=（a+b）²，
整理得1-（a+b）=ab，而ab≤

1

4

（a+b）²，

1

4

（a+b）²+（a+b）-1≥0，
解得：a+b≥-2+2

2

或a+b≤-2-2

2

（舍去），
r=1-（a+b）≤1-（-2+2

2

）=3-2

2

，
当且仅当a=b=

2

-1时，等号成立．