试题

如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB与⊙O切于点D，AC与⊙O切于点E，BO与DE交于点X，CO与DE交于点Y，点Z是BC的中点．
（1）求证：O、E、X、C四点共圆；
（2）若∠A=60°，求证：△XYZ是等边三角形．

证明：（1）根据三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及三角形的内角和定理，得
∠ECO=

1

2

∠ACB，
设BX与AC的交点是F，则
∠EXO=180°-∠AED-∠EFX=180°-

1

2

（180°-∠A）-180°+

1

2

∠ABC+∠ACB=

1

2

∠ACB，
∴O、E、X、C四点共圆；

（2）证明：由切线长定理得：AE=AD，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵由（1）得∠BXC=∠OEC=90°，XZ=BZ，
∴∠ZBX=∠ZXB=∠ABX，
∴XZ∥AB，
∴∠YXZ=∠ADE=60°，
同理YZ∥AC，则∠ZYX=∠AED=60°，
所以△XYZ是等边三角形．
证明：（1）根据三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及三角形的内角和定理，得
∠ECO=

1

2

∠ACB，
设BX与AC的交点是F，则
∠EXO=180°-∠AED-∠EFX=180°-

1

2

（180°-∠A）-180°+

1

2

∠ABC+∠ACB=

1

2

∠ACB，
∴O、E、X、C四点共圆；

（2）证明：由切线长定理得：AE=AD，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵由（1）得∠BXC=∠OEC=90°，XZ=BZ，
∴∠ZBX=∠ZXB=∠ABX，
∴XZ∥AB，
∴∠YXZ=∠ADE=60°，
同理YZ∥AC，则∠ZYX=∠AED=60°，
所以△XYZ是等边三角形．