试题

题目：
青果学院在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，点O在BC上，半径为2的半圆O与AB、AC均相切，则△ABC的面积是
9
9
．
答案
9

青果学院解：连接O于切点，则OE⊥AB，OF⊥AC．
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，OF∥AB．
设CF=x，则AC=AF+CF=2+x，
∵OF∥AB，
∴
OF
AB
=
CF
AC
，即
2
3
=
x
x+2
，
解得：x=4，
则AC=6，
则△ABC的面积是：
1
2
AB·AC=
1
2
×3×6=9．
故答案是：9．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
连接O于切点，则OE⊥AB，OF⊥AC．又根据∠BAC=90°，即可得到：四边形AEOF是正方形，OF∥AB，根据平行线分线段成比例定理即可求得AC的长，从而求得三角形的面积．
本题考查了切线的性质，以及平行线分线段成比例定理，正确理解四边形AEOF是正方形是关键．
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