试题

题目：
青果学院如图，点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120゜，则△ABC内切圆半径r的最大值为（　　）



答案
C
青果学院解：当点C为
AB
的中点时，△ABC内切圆半径r的最大，如图，连结OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，
∵点C为
AB
的中点，
∴OC⊥AB，AD=BD=
1
2
AB=6，AC=BC，
∴点M在CD上，
∴ME和MD都为⊙M的半径，
设ME=MD=r，
∵∠ACB=120゜，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，
在Rt△ACD中，CD=
3
3
AD=
3
，
在Rt△CEM中，∠ECM=60°，∠CME=30°，
∴CE=
3
3
EM=
3
3
r，
∴CM=2CE=
2
3
3
r，
∵CM+DM=CD，
∴
2
3
3
r+r=
3
，
∴r=6-3
3
．
故选C．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
当C点运动到离AB的距离最大时，△ABC内切圆半径r的最大，即点C为
AB
的中点，连结OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，根据垂径定理得到OC⊥AB，AD=BD=
1
2
AB=6，AC=BC，再根据等腰三角形的性质和内心的定义得到点M在CD上，则ME和MD都为⊙M的半径；且∠A=30°，∠ACD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=
3
3
AD=
3
，CE=
3
3
EM=
3
3
r，CM=2CE=
2
3
3
r，然后利用CM+DM=CD得到
2
3
3
r+r=
3
，再解关于r的方程即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了垂径定理和含30度的直角三角形三边的关系．
计算题．
找相似题