试题

题目：
已知△ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：
GH
DH
=
GA
DA
．
答案
解：∵H为垂心，AD、BE、CF是高，∴△ABC的垂心H必为△DEF的内心，
∵H是△DEF的内心知，∴
GH
DH
=
EG
ED
．
∴EA是△GED的外角平分线，
∴
GE
DE
=
AG
AD
．
∴
GH
DH
=
GA
AD
．
解：∵H为垂心，AD、BE、CF是高，∴△ABC的垂心H必为△DEF的内心，
∵H是△DEF的内心知，∴
GH
DH
=
EG
ED
．
∴EA是△GED的外角平分线，
∴
GE
DE
=
AG
AD
．
∴
GH
DH
=
GA
AD
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
易证△ABC的垂心H必为△DEF的内心，由H是△DEF的内心知
GH
DH
=
EG
ED
．又不难证明EA是△GED的外角平分线，故
GE
DE
=
AG
AD
．
从而
GH
DH
=
GA
AD
．
本题考查了三角形的内切圆和垂心的性质，是综合题，难度较大．
证明题．
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