试题

题目：
青果学院已知：如图，边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌△ECD；②△AEF的周长为10；③△AEF的内切圆的半径为
3
3
，其中正确的个数是（　　）



答案
C
解：∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∵在△AEF和△BFD和△CDE中，
∠A=∠B=∠C
∠AFE=∠BDF=∠CED
EF=FD=DE

∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），
故①正确；
∴AE=BF，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，
故②正确；
设△AEF的内切圆半径为r，
∵S△ABC=9
3
，S△DEF=4
3
，
∴S△AEF=
1
3
（S△ABC-S△DEF）=
5
3
3
，
∴r=
2S△AEF
AE+EF+AF
=
2×
5
3
3
10
=
3
3
，
故③正确．
故选C．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．
①由边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，根据AAS即可判定△AEF≌△BFD≌△CDE；
②由△AEF≌△BFD≌△CDE，即可得AE=BF，即可求得△AEF的周长为：AB+EF=10；
③易求得△AEF的面积，又由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△AEF的内切圆的半径．
此题考查了三角形的内切圆的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
压轴题．
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