试题

如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（　　）
A．2
B．3.5
C．

14-7 2

2

D．4

A
解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k，
当y=0时，x=

3k-4

k

，
即A（0，4-3k），B（

3k-4

k

，0），
△AOB的面积是

1

2

·OB·OA=

1

2

·

3k-4

k

·（4-3k）=12-

9k2+16

k

=12-（9k+

16

k

），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须

9k2+16

k

最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k-

16

k

≥2

-9k· 16 k

=2×12=24，
当且仅当-9k=-

16

k

时，取等号，解得：k=±

4

3

，
∵k＜0，
∴k=-

4

3

，
即OA=4-3k=8，OB=

3k-4

k

=6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：

1

2

×6×8=

1

2

×6R+

1

2

×8R+

1

2

×10R，
R=2，
故选A．