试题

题目：
青果学院如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为（　　）



答案
C
青果学院解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，
∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，
∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD·
DO
tan∠OAD
=
3
R，
即AB=2
3
R；
同理可求得：A1B1=
3
R，
∴
A1B1
AB
=
3
R
2
3
R
=
1
2
，
则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（
1
2
） 2=
1
4
．
故选：C．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系，进而得出△A1B1C1与△ABC的面积的比值．
此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质以及正多边形的内外心重合等知识，得出
A1B1
AB
=
1
2
是解题关键．
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