试题

题目：
青果学院（2004·广州）如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD=AE；（2）AB·AE=AC·DB．
答案
证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得
AB
AC
=
PB
PA
．
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得
PB
PA
=
DB
AE
．
∴
AB
AC
=
DB
AE
．
∴AB·AE=AC·DB．
证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得
AB
AC
=
PB
PA
．
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得
PB
PA
=
DB
AE
．
∴
AB
AC
=
DB
AE
．
∴AB·AE=AC·DB．
考点梳理
弦切角定理．
（1）要证明AD=AE，只需证明∠ADE=∠AED；根据三角形的外角的性质和弦切角定理即可证明；
（2）要证明AB·AE=AC·DB，只需证明
AB
AC
=
DB
AE
，根据△APB∽△CPA，得
AB
AC
=
PB
PA
，根据△PBD∽△PEA，得
PB
PA
=
DB
AE
，联立两式，可得出所求的结论．
本题考查了弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练运用相似三角形的判定和性质是解答（2）题的关键．
证明题；压轴题．
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