试题

题目：
青果学院（2003·泰安）如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A=α，则∠ECB=
45°+
α
2
45°+
α
2
（用含α的式子表示）．
答案
45°+
α
2

青果学院解：连接CD；则∠BCE=∠CDE，∠CDE+∠E=90°；
∵∠A+∠ACD=∠CDE，
∴α+∠ACD=∠CDE；
又∵∠ACD=∠E，
∴∠E=90°-∠CDE=∠CDE-α；
∴∠CDE=45°+
α
2
；
故∠CDE=∠ECB=45°+
α
2
．
考点梳理
弦切角定理；圆周角定理．
由弦切角定理知：∠ECB=∠EDC，因此需连接CD，求∠EDC的表达式是解决本题的关键．
由圆周角定理知：∠ECD=90°，因此∠EDC+∠E=90°①；
由于∠EDC是△ADC的外角，所以∠EDC=∠A+∠ACD②；
而∠ACD=∠E③；联立①②③即可求得∠EDC的表达式，由此得解．
解答此题的关键是连接CD构造出直角三角形，利用弦切角与圆周角定理解答．
压轴题．
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