试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是
4.8
4.8
．
答案
4.8

青果学院解：如图，设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，PC+PD=EF，
∴PC+PD＞CD，
∵当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，
∴CD=BC·AC÷AB=4.8．
故答案为：4.8．
考点梳理
切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB，进而求出即可．
此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC·AC÷AB是解题关键．
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